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Silence的博客

大师只有一个

 
 
 

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转:斐波那契数列算法分析  

2010-07-20 12:39:19|  分类: 技术 |  标签: |举报 |字号 订阅

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背景:

假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子,它们在长到一个月大小时开始交配,在第二月结束时,雌兔子产下另一对兔子,过了一个月后它们也开始繁殖,如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子,假定没有兔子死亡,在一年后总共会有多少对兔子?

在一月底,最初的一对兔子交配,但是还只有1对兔子;在二月底,雌兔产下一对兔子,共有2对兔子;在三月底,最老的雌兔产下第二对兔子,共有3对兔子;在四月底,最老的雌兔产下第三对兔子,两个月前生的雌兔产下一对兔子,共有5对兔子;……如此这般计算下去,兔子对数分别是:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...看出规律了吗?从第3个数目开始,每个数目都是前面两个数目之和。这就是著名的斐波那契(Fibonacci)数列。

 

有趣问题:

1,有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

答:这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种方法……所以,1,2,3,5,8,13……登上十级,有89种。

2,数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少,就是问,当n趋于无穷大时,F(n)/F(n+1)的极限是多少?

答:这个可由它的通项公式直接得到,极限是(-1+√5)/2,这个就是所谓的黄金分割点,也是代表大自然的和谐的一个数字。

 

 

数学表示:

Fibonacci数列的数学表达式就是:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

F(1) = 1

F(2) = 1

 

递归程序1:

Fibonacci数列可以用很直观的二叉递归程序来写,用C++语言的描述如下:

long fib1(int n)

{

          if (n <= 2)

{

          return 1;

}

else

{

          return fib1(n-1) + fib1(n-2);

}

}

看上去程序的递归使用很恰当,可是在用VC2005的环境下测试n=37的时候用了大约3s,而n=45的时候基本下楼打完饭也看不到结果……显然这种递归的效率太低了!!

递归效率分析:

例如,用下面一个测试函数:

long fib1(int n, int* arr)

{

         arr[n]++;

         if (n <= 2)

         {

              return 1;

         }

         else

         {

              return fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);

         }

}

这时,可以得到每个fib(i)被计算的次数:

fib(10) = 1     fib(9) = 1      fib(8) = 2      fib(7) = 3

fib(6) = 5      fib(5) = 8      fib(4) = 13    fib(3) = 21

fib(2) = 34   fib(1) = 55    fib(0) = 34

可见,计算次数呈反向的Fibonacci数列,这显然造成了大量重复计算。

我们令T(N)为函数fib(n)的运行时间,当N>=2的时候我们分析可知:

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + 2

而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2),所以有T(N) >= fib(n),归纳法证明可得:

fib(N) < (5/3)^N

当N>4时,fib(N)>= (3/2)^N

标准写法:

显然这个O((3/2)^N) 是以指数增长的算法,基本上是最坏的情况。

其实,这违反了递归的一个规则:合成效益法则。

合成效益法则(Compound interest rule):在求解一个问题的同一实例的时候,切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。

所以在上面的代码中调用fib(N-1)的时候实际上同时计算了fib(N-2)。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。

 

递归程序2:

用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率,用C++语言的描述如下:

long fib(int n, long a, long b, int count)

{

     if (count == n)

         return b;

     return fib(n, b, a+b, ++count);

}

 

long fib2(int n)

{

     return fib(n, 0, 1, 1);

}

这种方法虽然是递归了,但是并不直观,而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。

 

迭代解法:

Fibonacci数列用迭代程序来写也很容易,用C++语言的描述如下:

//也可以用数组将每次计算的f(n)存储下来,用来下次计算用(空间换时间)

long fib3 (int n)

{

     long x = 0, y = 1;

     for (int j = 1; j < n; j++)

     {

         y = x + y;

         x = y - x;

     }

     return y;

}

这时程序的效率显然为O(N),N = 45的时候<1s就能得到结果。

 

矩阵乘法:

我们将数列写成:

Fibonacci[0] = 0,Fibonacci[1] = 1

Fibonacci[n] = Fibonacci[n-1] + Fibonacci[n-2] (n >= 2)

可以将它写成矩阵乘法形式:

将右边连续的展开就得到:

下面就是要用O(log(n))的算法计算:

显然用二分法来求,结合一些面向对象的概念,C++代码如下:


class Matrix

{

public:

       long matr[2][2];

 

       Matrix(const Matrix&rhs);

       Matrix(long a, long b, long c, long d);

       Matrix& operator=(const Matrix&);

       friend Matrix operator*(const Matrix& lhs, const Matrix& rhs)

       {

              Matrix ret(0,0,0,0);

              ret.matr[0][0] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][0];

              ret.matr[0][1] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][1];

              ret.matr[1][0] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][0];

              ret.matr[1][1] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][1];

              return ret;

       }

};

 

Matrix::Matrix(long a, long b, long c, long d)

{

       this->matr[0][0] = a;

       this->matr[0][1] = b;

       this->matr[1][0] = c;

       this->matr[1][1] = d;

}

 

Matrix::Matrix(const Matrix &rhs)

{

       this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];

       this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];

       this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];

       this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];

}

 

Matrix& Matrix::operator =(const Matrix &rhs)

{

       this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];

       this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];

       this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];

       this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];

       return *this;

}

 

Matrix power(const Matrix& m, int n)

{

       if (n == 1)

              return m;

       if (n%2 == 0)

              return power(m*m, n/2);

       else

              return power(m*m, n/2) * m;

}

 

long fib4 (int n)

{

       Matrix matrix0(1, 1, 1, 0);

       matrix0 = power(matrix0, n-1);

       return matrix0.matr[0][0];

}


这时程序的效率为O(log(N)) 。

 

公式解法:

在O(1)的时间就能求得到F(n)了:

 

注意:其中[x]表示取距离x最近的整数。

用C++写的代码如下:

long fib5(int n)

{

     double z = sqrt(5.0);

     double x = (1 + z)/2;

     double y = (1 - z)/2;

     return (pow(x, n) - pow(y, n))/z + 0.5;

}

这个与数学库实现开方和乘方本身效率有关的,我想应该还是在O(log(n))的效率。

 

总结:

上面给出了5中求解斐波那契数列的方法,用测试程序主函数如下:

int main()

{

     cout << fib1(45) << endl;

     cout << fib2(45) << endl;

     cout << fib3(45) << endl;

     cout << fib4(45) << endl;

cout << fib5(45) << endl;

     return 0;

}

函数fib1会等待好久,其它的都能很快得出结果,并且相同为:1134903170。

而后面两种只有在n = 1000000000的时候会显示出优势。由于我的程序都没有涉及到高精度,所以要是求大数据的话,可以通过取模来获得结果的后4位来测试效率与正确性。

另外斐波那契数列在实际工作中应该用的很少,尤其是当数据n很大的时候(例如:1000000000),所以综合考虑基本普通的非递归O(n)方法就很好了,没有必要用矩阵乘法。

 

附录:

程序全部源码:


#include <iostream>

#include <vector>

#include <string>

#include <cmath>

#include <fstream>

 

using namespace std;

 

class Matrix

{

public:

       long matr[2][2];

 

       Matrix(const Matrix&rhs);

       Matrix(long a, long b, long c, long d);

       Matrix& operator=(const Matrix&);

       friend Matrix operator*(const Matrix& lhs, const Matrix& rhs)

       {

              Matrix ret(0,0,0,0);

              ret.matr[0][0] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][0];

              ret.matr[0][1] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][1];

              ret.matr[1][0] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][0];

              ret.matr[1][1] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][1];

              return ret;

       }

};

 

Matrix::Matrix(long a, long b, long c, long d)

{

       this->matr[0][0] = a;

       this->matr[0][1] = b;

       this->matr[1][0] = c;

       this->matr[1][1] = d;

}

 

Matrix::Matrix(const Matrix &rhs)

{

       this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];

       this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];

       this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];

       this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];

}

 

Matrix& Matrix::operator =(const Matrix &rhs)

{

       this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];

       this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];

       this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];

       this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];

       return *this;

}

 

Matrix power(const Matrix& m, int n)

{

       if (n == 1)

              return m;

       if (n%2 == 0)

              return power(m*m, n/2);

       else

              return power(m*m, n/2) * m;

}

 

//普通递归

long fib1(int n)

{

              if (n <= 2)

              {

                     return 1;

              }

              else

              {

                     return fib1(n-1) + fib1(n-2);

              }

}

/*上面的效率分析代码

long fib1(int n, int* arr)

{

              arr[n]++;

              if (n <= 1)

              {

                     return 1;

              }

              else

              {

                     return fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);

              }

}

*/

 

long fib(int n, long a, long b, int count)

{

       if (count == n)

              return b;

       return fib(n, b, a+b, ++count);

}

//一叉递归

long fib2(int n)

{

       return fib(n, 0, 1, 1);

}

 

//非递归方法O(n)

long fib3 (int n)

{

       long x = 0, y = 1;

       for (int j = 1; j < n; j++)

       {

              y = x + y;

              x = y - x;

       }

       return y;

}

 

//矩阵乘法O(log(n))

long fib4 (int n)

{

       Matrix matrix0(1, 1, 1, 0);

       matrix0 = power(matrix0, n-1);

       return matrix0.matr[0][0];

}

 

//公式法O(1)

long fib5(int n)

{

       double z = sqrt(5.0);

       double x = (1 + z)/2;

       double y = (1 - z)/2;

       return (pow(x, n) - pow(y, n))/z + 0.5;

}

 

int main()

{

       //n = 45时候fib1()很慢

       int n = 10;

       cout << fib1(n) << endl;

       cout << fib2(n) << endl;

       cout << fib3(n) << endl;

       cout << fib4(n) << endl;

       cout << fib5(n) << endl;

       return 0;

}

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